Bài tập 28, § 2

Cho A là một vành giao hoán được trang bị một tôpô tuyến tính, E, F là hai A-môđun tôpô, được tôpô hóa tuyến tính. Khi V (tương ứng W) chạy qua tập hợp các môđun con mở của E (tương ứng F), các môđun con $\operatorname{Im}(V \otimes_A F) + \operatorname{Im}(E \otimes_A W)$ của $E \otimes_A F$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong $E \otimes_A F$ đối với một tôpô tương thích với cấu trúc môđun của nó trên vành tôpô A, và được gọi là tích tenxơ của các tôpô đã cho trên E và F. Bao đầy đủ tách được $(E \otimes_A F)^\sim$ của A-môđun này là một $\hat{A}$-môđun được gọi là tích tenxơ đầy đủ của E và F.

(a) Chứng minh rằng nếu $(V_\lambda)$ (tương ứng $(W_\mu)$) là một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong E (tương ứng F) được tạo thành bởi các môđun con, thì $(E \otimes_A F)^\sim$ đẳng cấu chính tắc với giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh của các A-môđun $(E/V_\lambda) \otimes_A (F/W_\mu)$; suy ra rằng $(E \otimes_A F)^\sim$ là một $\hat{A}$-môđun đẳng cấu chính tắc với $(\hat{E} \otimes_{\hat{A}} \hat{F})^\sim$; nó cũng được ký hiệu là $\hat{E} \otimes_{\hat{A}} \hat{F}$.

(b) Cho E', F' là hai A-môđun tôpô, được tôpô hóa tuyến tính, $u : E \to E', \ \varphi : F \to F'$ là hai ánh xạ A-tuyến tính liên tục; chứng minh rằng $u \otimes \varphi : E \otimes F \to E' \otimes F'$ là liên tục đối với các tôpô tích tenxơ trên $E \otimes F$ và $E' \otimes F'$; $u \hat{\otimes} \varphi$ ký hiệu ánh xạ tuyến tính liên tục $(E \otimes F)^{\sim} \to (E' \otimes F')^{\sim}$ tương ứng với $u \otimes \varphi$.

(c) Cho B, C là hai đại số giao hoán trên A được trang bị các tôpô tuyến tính sao cho các ánh xạ chính tắc $A \to B, A \to C$ là liên tục (người ta nói ngắn gọn rằng B và C là các A-\emph{đại số tôpô}). Chứng minh rằng $(B \otimes_A C)^{\sim}$ được trang bị một cách chính tắc một cấu trúc đại số A-tôpô, được gọi là tích tenxơ đầy đủ của các đại số B và C. Định nghĩa các biểu diễn liên tục chính tắc $\rho : B \to (B \otimes_A C)^{\sim}, \ \sigma : C \to (B \otimes_A C)^{\sim}$ có tính chất sau: đối với mọi đại số A-tôpô giao hoán D, tách được và đầy đủ, và mọi cặp các đồng cấu A liên tục $u : B \to D, \ \varphi : C \to D$, tồn tại duy nhất một đồng cấu A liên tục $\omega : (B \otimes_A C)^{\sim} \to D$ sao cho $u = \omega \circ \rho$ và $\varphi = \omega \circ \sigma$.

(d) Cho $\mathfrak{m}$ là một iđêan của A sao cho tôpô của A là tôpô $\mathfrak{m}$-adic. Nếu E và F mỗi môđun đều được trang bị tôpô $\mathfrak{m}$-adic, chứng minh rằng trên $E \otimes_A F$ tích tenxơ của các tôpô của E và F là tôpô $\mathfrak{m}$-adic. Suy ra rằng $(E \otimes_A F)^\sim$ đẳng cấu với các giới hạn xạ ảnh $\lim ((E/\mathfrak{m}^{n+1}E) \otimes_A F)$ và $\lim (E \otimes_A (F/\mathfrak{m}^{n+1}F))$.