Exercice 28, § 2

Soient A un anneau commutatif muni d’une topologie linéaire, E, F deux A-modules topologiques, linéairement topologisés. Lorsque V (resp. W) parcourt l’ensemble des sous-modules ouverts de E (resp. F), les sous-modules $\operatorname{Im}(V \otimes_A F) + \operatorname{Im}(E \otimes_A W)$ de $E \otimes_A F$ forment un système fondamental de voisinages de 0 dans $E \otimes_A F$ pour une topologie compatible avec sa structure de module sur l’anneau topologique A, et dite produit tensoriel des topologies données sur E et F. Le séparé complété $(E \otimes_A F)^\sim$ de ce A-module est un $\hat{A}$-module appelé produit tensoriel complété de E et F.

a) Montrer que si $(V_\lambda)$ (resp. $(W_\mu)$) est un système fondamental de voisinages de 0 dans E (resp. F) formé de sous-modules, $(E \otimes_A F)^\sim$ est canoniquement isomorphe à la limite projective du système projectif de A-modules $(E/V_\lambda) \otimes_A (F/W_\mu)$; en déduire que $(E \otimes_A F)^\sim$ est un $\hat{A}$-module canoniquement isomorphe à $(\hat{E} \otimes_{\hat{A}} \hat{F})^\sim$; on le note aussi $\hat{E} \otimes_{\hat{A}} \hat{F}$.

b) Soient E', F' deux A-modules topologiques, linéairement topologisés, $u : E \to E', \ \varphi : F \to F'$ deux applications A-linéaires continues ; montrer que $u \otimes \varphi : E \otimes F \to E' \otimes F'$ est continue pour les topologies produits tensoriels sur $E \otimes F$ et $E' \otimes F'$; on désigne par $u \hat{\otimes} \varphi$ l’application linéaire continue $(E \otimes F)^{\sim} \to (E' \otimes F')^{\sim}$ correspondant à $u \otimes \varphi$.

c) Soient B, C deux A-algèbres commutatives munies de topologies linéaires telles que les applications canoniques $A \to B, A \to C$ soient continues (on dit pour abréger que B et C sont des A-\emph{algèbres topologiques}). Montrer que $(B \otimes_A C)^{\sim}$ est canoniquement muni d’une structure de A-algèbre topologique, dite \emph{produit tensoriel complété} des algèbres B et C. Définir des représentations continues canoniques $\rho : B \to (B \otimes_A C)^{\sim}, \ \sigma : C \to (B \otimes_A C)^{\sim}$ ayant la propriété suivante : pour toute A-algèbre topologique commutative D, séparée et complète, et tout couple de A-homomorphismes continus $u : B \to D, \ \varphi : C \to D$, il existe un A-homomorphisme continu et un seul $\omega : (B \otimes_A C)^{\sim} \to D$ tel que $u = \omega \circ \rho$ et $\varphi = \omega \circ \sigma$.

d) Soit $\mathfrak{m}$ un idéal de A tel que la topologie de A soit la topologie $\mathfrak{m}$-adique. Si E et F sont munis chacun de la topologie $\mathfrak{m}$-adique, montrer que sur $E \otimes_A F$ le produit tensoriel des topologies de E et F est la topologie $\mathfrak{m}$-adique. En déduire que $(E \otimes_A F)^{\sim}$ est isomorphe aux limites projectives $\lim ((E/\mathfrak{m}^{n+1}E) \otimes_A F)$ et $\lim (E \otimes_A (F/\mathfrak{m}^{n+1}F))$.