Bài tập 5, § 2

Cho $A$ là một vành giao hoán lọc với phép lọc $(a)_m$ sao cho $a_0 = A$. (a) Để vành $\operatorname{gr}(A)$ được sinh bởi một họ các phần tử có các cấp bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số nguyên $q$ sao cho, với mọi $n$, $a_n = a_{n+1} + b_n$ trong đó $b_n$ là tổng của các iđêan $a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} \ldots a_q^{\alpha_q}$ với mọi hệ các số nguyên $\alpha_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq q$) sao cho $\sum_{i=1}^q i \alpha_i = n$. Khi đó $a_n = a_{n+k} + b_n$ với mọi $k > 0$.

(b) Để $\mathrm{gr}(A)$ là Noether, điều kiện cần và đủ là $A/a_1$ là Noether, điều kiện của (a) được thỏa mãn và với $i \leq q$ các $a_i/a_{i+1}$ là các $(A/a_1)$-môđun sinh hữu hạn (dùng Hệ quả 4 của Định lý 2 của no. 10).

(c) Cho $K$ là một trường giao hoán và $A$ là vành đa thức theo hai phần tử bất định $K[X, Y]$. Một cấp toàn phần được xác định trên tập hợp các đơn thức $X^m Y^n$ bằng cách đặt $X^m Y^n \leq X^p Y^q$ nếu $m + n \leq p + q$ hoặc nếu $m + n = p + q$ và $m \leq p$. Gọi $(M_k)$ là dãy các đơn thức theo $X, Y$ được sắp xếp như vậy theo thứ tự tăng dần và gọi $a_n$ là iđêan của $A$ được sinh bởi các $M_k$ có chỉ số $k \geq n$. Chứng minh rằng (a) là một phép lọc tương thích với cấu trúc vành trên $A$; với phép lọc này $\mathrm{gr}(A)$ có các ước của 0 và không là Noether, mặc dù $A$ là một miền nguyên Noether (dùng tiêu chuẩn trong (b)); đặc biệt, $\mathrm{gr}(a_1)$ (với phép lọc cảm sinh trên $a_1$ bởi phép lọc trên $A$) không là một $\mathrm{gr}(A)$-môđun sinh hữu hạn, mặc dù $a_n$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn (xem § 1, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1).