Exercice 5, § 2

Soit $A$ un anneau commutatif filtré, la filtration $(a_n)_{n \geq 0}$ étant telle que $a_0 = A$.

a) Pour que l’anneau $\operatorname{gr}(A)$ soit engendré par une famille d’éléments dont les degrés sont bornés, il faut et il suffit qu’il existe un entier $q$ tel que, pour tout $n$, on ait $a_n = a_{n+1} + b_n$, où $b_n$ est la somme des idéaux a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2} \ldots a_q^{\alpha_q} pour tous les systèmes d'entiers $\alpha_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq q$) tels que $\sum_{i=1}^q i \alpha_i = n$. On a alors $a_n = a_{n+k} + b_n$ pour tout $k > 0$.

b) Pour que gr(A) soit noethérien, il faut et il suffit que $A/a_1$ soit noethérien, que la condition de a) soit vérifiée et que pour $i \leq q$, les $a_i / a_{i+1}$ soient des $(A/a_1)$-modules de type fini (utiliser le cor. 4 du th. 2 du n° 10).

c) Soient K un corps commutatif, A l'anneau de polynômes à deux indéterminées $K[X, Y]$. On définit sur l'ensemble des monômes $X^m Y^n$ un ordre total en posant $X^m Y^n \leq X^p Y^q$ si $m + n \leq p + q$, ou si $m + n = p + q$ et $m \leq p$. Soit $(M_k)$ la suite des monômes en X, Y ainsi rangés par ordre croissant, et soit $a_n$ l'idéal de A engendré par les $M_k$ d'indice $k \geq n$. Montrer que $(a_n)$ est une filtration compatible avec la structure d'anneau de A ; pour cette filtration, gr(A) admet des diviseurs de 0 et n'est pas noethérien, bien que A soit un anneau intègre noethérien (utiliser le critère de b)) ; en particulier, gr($a_1$) (pour la filtration induite sur $a_1$ par celle de A) n'est pas un (gr(A))-module de type fini, bien que $a_1$ soit un A-module de type fini (cf. § 1, n° 2, cor. de la prop. 1).