Bài tập 7, § 2

Cho A là một vành giao hoán, E là một A-môđun, F là một môđun con của E, B là đại số ngoài $\mathbf{A}(E)$ và $\mathfrak{z}$ là iđêan hai phía của B sinh bởi các ảnh chính tắc trong B của các phần tử của F. Cho gr$^\mathfrak{z}$(B) là vành phân bậc liên kết với vành B được lọc bởi lọc $\mathfrak{z}$-adic.

(a) Định nghĩa một đồng cấu đại số trên A chính tắc toàn ánh (không phân bậc) $(\mathbf{A}(F)) \otimes_A^\mathfrak{g} (\mathbf{A}(E/F)) \to \mathrm{gr}^\mathfrak{z}(B)$ (trong đó ta hiểu là tích tenxơ xiên của các đại số phân bậc (Đại số, Chương 111).

(b) Chứng minh rằng, nếu F có một môđun bù trong E, đồng cấu được định nghĩa trong (a) là một đẳng cấu.

(c) Lấy $A = \mathbf{Z}, E = 2/42, F = 22/42$; chứng minh rằng đồng cấu được định nghĩa trong A không là đơn ánh trong trường hợp này.