Exercice 7, § 2

Soient A un anneau commutatif, E un A-module, F un sous-module de E, B l’algèbre extérieure $\wedge (E)$, $\mathfrak{J}$ l’idéal bilatère de B engendré par les images canoniques dans B des éléments de F. Soit gr$^3(B)$ l’anneau gradué associé à l’anneau B filtré par la filtration $\mathfrak{J}$-adique.

a) Définir un homomorphisme canonique surjectif de A-algèbres (non graduées) $(\wedge (F)) \otimes_A^g (\wedge (E/F)) \to \mathrm{gr}^3(B)$ (où il s’agit du produit tensoriel gauche d’algèbres graduées (Alg., chap. III, 3e éd.)).

b) Montrer que si F admet un supplémentaire dans E, l’homomorphisme défini dans a) est un isomorphisme.

c) On prend $A = \mathbf{Z}$, $E = \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, $F = 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$; montrer que l’homomorphisme défini dans a) n’est pas injectif dans ce cas.