Bài tập 1, § 4

Cho $A$ là một vành nguyên Noether địa phương nửa phần có chiều 1. a) Bao đóng nguyên của $A$ là một $A$-đại số hữu hạn khi và chỉ khi hoàn thành $\hat{A}$ của $A$ là rút gọn. (Nếu $\hat{A}$ là rút gọn, sử dụng hệ quả của Định lý 2 của § 4, No. 2. Để chứng minh chiều ngược lại, rút gọn về trường hợp $A$ là đóng nguyên, và lập luận như trong chứng minh của Định lý 3 của § 4, No. 4). b) Ba điều kiện sau là tương đương: (i) $A$ là một vành Japanese; (ii) $A$ là một vành Nagata; (iii) $\hat{A}$ là rút gọn và nếu $q_1, ..., q_n$ là các iđêan nguyên tố cực tiểu của $\hat{A}$, thì các trường $\kappa(q_i)$ là các mở rộng tách được của trường phân thức của $A$.