Exercice 1, § 4

Soit $A$ un anneau semi-local noethérien intègre de dimension 1. a) La clôture intégrale de $A$ est une $A$-algèbre finie si et seulement si le complété $\hat{A}$ de $A$ est réduit. (Si $\hat{A}$ est réduit, utiliser le corollaire du th. 2 du § 4, no 2. Pour l’implication dans l’autre sens, se ramener au cas où $A$ est intégralement clos, et raisonner comme dans la démonstration du th. 3 du § 4, no 4). b) Les trois conditions suivantes sont équivalentes : (i) $A$ est un anneau japonais ; (ii) $A$ est un anneau de Nagata ; (iii) $\hat{A}$ est réduit et si $q_1, ..., q_n$ sont les idéaux premiers minimaux de $\hat{A}$, alors les corps $\kappa(q_i)$ sont des extensions séparables du corps des fractions de $A$.