Bài tập 10, § 4

Cho A là một vành nguyên Noether địa phương, $\hat{A}$ là hoàn thành của nó, $p_1, ..., p_n$ là các iđêan nguyên tố cực tiểu của $\hat{A}$, và với $1 \leq i \leq n$, đặt $B_i = \hat{A}/p_i$. a) Vành $B_i$ là Nhật Bản. b) Bao đóng nguyên $\overline{B}_i$ của $B_i$ là một vành Krull. c) Bao đóng nguyên $\overline{A}$ của A là một vành Krull. (Sử dụng Bài tập 8 và VII, § 1, No. 3, các Ví dụ 3 và 4.) d) $\overline{A}$ chỉ có một số hữu hạn iđêan cực đại và các trường thặng dư của chúng là các mở rộng hữu hạn của trường thặng dư của A. (Sử dụng Bài tập 9, b).) e) Với mọi iđêan nguyên tố $p$ của A, chỉ có một số hữu hạn iđêan nguyên tố $\mathfrak{P}$ của $\overline{A}$ nằm trên $p$, và các trường $\kappa(\mathfrak{P})$ là các mở rộng hữu hạn của $\kappa(p)$. (Rút gọn về trường hợp A là địa phương với iđêan cực đại $p$.)