Exercice 10, § 4

Soient A un anneau noethérien local intègre, $\hat{A}$ son complété, $p_1, ..., p_n$ les idéaux premiers minimaux de $\hat{A}$, et pour $1 \leq i \leq n$, posons $B_i = \hat{A}/p_i$. a) L’anneau $B_i$ est japonais. b) La clôture intégrale $\overline{B}_i$ de $B_i$ est un anneau de Krull. c) La clôture intégrale $\overline{A}$ de A est un anneau de Krull. (Utiliser l’exerc. 8 et VII, § 1, n° 3, exemples 3 et 4.) d) $\overline{A}$ n’a qu’un nombre fini d’idéaux maximaux et leurs corps résiduels sont des extensions finies de celui de A. (Utiliser l’exerc. 9, b).) e) Pour tout idéal premier $p$ de A, il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux premiers $\mathfrak{P}$ de $\overline{A}$ au-dessus de $p$, et les corps $\kappa(\mathfrak{P})$ sont des extensions finies de $\kappa(p)$. (Se ramener au cas où A est local d’idéal maximal $p$.)