Bài tập 13, § 4

Cho $A$ là một vành nguyên Noether, $K$ là trường phân thức của nó, $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của nó, $f$ là một phần tử khác không của A, $\mathfrak{P}$ là một iđêan nguyên tố chiều cao 1 của $\overline{A}$ chứa $f$, $p$ là iđêan nguyên tố

$^1$ Với mọi vành B, ta ký hiệu bằng $B_{\text{red}}$ thương của B theo iđêan các phần tử lũy linh của B.

$A \cap \mathfrak{P}$ của A. Chứng minh rằng ta có $p \in \operatorname{Ass}_A(A/fA)$ bằng cách quy về trường hợp A là địa phương, với iđêan cực đại $p$, và bằng cách thiết lập lần lượt dưới giả thiết này các khẳng định sau: a) $\mathfrak{P}$ là divisoriel (dùng Bài tập 10, c)). b) $p$ là divisoriel (dùng Bài tập 12, f)). c) Nếu $a_1, ..., a_r$ là các phần tử khác không của K sao cho

và tồn tại một chỉ số $i$ sao cho $p = A \cap a_i^{-1}A$. d) Tồn tại một phần tử khác không $g$ của A sao cho $p \in \operatorname{Ass}_A(A/gA)$. e) $p \in \operatorname{Ass}_A(A/fA)$.