Exercice 13, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre, K son corps des fractions, $\overline{A}$ sa clôture intégrale, $f$ un élément non nul de A, $\mathfrak{P}$ un idéal premier de hauteur 1 de $\overline{A}$ contenant $f$, $p$ l’idéal premier

$^1$ Pour tout anneau B, on note $B_{\text{red}}$ le quotient de B par l’idéal des éléments nilpotents de B.

$A \cap \mathfrak{P}$ de A. Prouver qu’on a $p \in \operatorname{Ass}_A(A/fA)$ en se ramenant au cas où A est local, d’idéal maximal $p$ et en établissant successivement sous cette hypothèse les assertions suivantes : a) $\mathfrak{P}$ est divisoriel (utiliser l’exerc. 10, c)). b) $p$ est divisoriel (utiliser l’exerc. 12, f)). c) Si $a_1, ..., a_r$ sont des éléments non nuls de K tels que

et il existe un indice $i$ tel que $p = A \cap a_i^{-1}A$. d) Il existe un élément non nul $g$ de A tel que $p \in \operatorname{Ass}_A(A/gA)$. e) $p \in \operatorname{Ass}_A(A/fA)$.