Bài tập 16, § 4

Cho A là một miền nguyên Noether, $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của nó trong một mở rộng hữu hạn của trường phân thức của nó, B là một vành chứa A và được chứa trong $\overline{A}$. Đặt Y = Spec(B) và X = Spec(A). Ta đề xuất chứng minh rằng Y là một không gian Noether. Cho $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử của B. Với $n \in \mathbf{N}$, cho $U_n = \operatorname{Spec}(B_{f_n})$ là tập con mở của Y được xác định bởi $f_n$. Đặt $U = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} U_n$, $F_n = U - \bigcup_{0 \leq m \leq n} U_m$. Ta ký hiệu $\overline{F}_n$ là bao đóng của $F_n$ trong Y, $G_n$ là ảnh của $F_n$ trong X, $\overline{G}_n$ là bao đóng của $G_n$ trong X, $B_n$ là vành thương giảm của B sao cho $\operatorname{Spec}(B_n) = \overline{F}_n$, $\overline{f}_n$ là ảnh của $f_n$ trong $B_n$. a) Ta có $F_n = V(\overline{f}_n B_n) \cap U$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. b) Giả sử rằng với một số nguyên $n \in \mathbf{N}$, $\overline{F}_n$ chỉ có một số hữu hạn các thành phần bất khả quy. Khi đó $V(\overline{f}_n B_n)$ chỉ có một số hữu hạn các thành phần bất khả quy. (Áp dụng kết quả của Bài tập 15, đồng thời sử dụng Bài tập 11, a).) c) Với mọi $n \in \mathbf{N}$, $F_n$ chỉ có một số hữu hạn các thành phần bất khả quy. d) Nếu $A_n$ là vành thương giảm của A sao cho $\operatorname{Spec}(A_n) = \overline{G}_n$, thì các iđêan nguyên tố cực tiểu của $A_n$ thuộc về $G_n$. e) Cho $n \in \mathbf{N}$ và x là một iđêan nguyên tố cực tiểu như vậy của $A_n$. Khi đó tồn tại một số nguyên $n' > n$ sao cho $F_{n'}$ không chứa điểm nào của Y nằm trên x, và x không thuộc về $\overline{G}_{n'}$. (Sử dụng Bài tập 11, a).) f) Với n đủ lớn, $F_n$ là rỗng.