Exercice 16, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre, $\overline{A}$ sa fermeture intégrale dans une extension finie de son corps des fractions, B un anneau contenant A et contenu dans $\overline{A}$. On pose Y = Spec(B) et X = Spec(A). On se propose de prouver que Y est un espace noethérien. Soit $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite d’éléments de B. Pour $n \in \mathbf{N}$, soit $U_n = \operatorname{Spec}(B_{f_n})$ l’ouvert de Y défini par $f_n$. Posons $U = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} U_n$, $F_n = U - \bigcup_{0 \leq m \leq n} U_m$. On notera $\overline{F}_n$ l’adhérence de $F_n$ dans Y, $G_n$ l’image de $F_n$ dans X, $\overline{G}_n$ l’adhérence de $G_n$ dans X, $B_n$ l’anneau réduit quotient de B tel que $\operatorname{Spec}(B_n) = \overline{F}_n$, $\overline{f}_n$ l’image de $f_n$ dans $B_n$. a) On a $F_n = V(\overline{f}_n B_n) \cap U$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. b) Supposons que pour un entier $n \in \mathbf{N}$, $\overline{F}_n$ n’ait qu’un nombre fini de composantes irréductibles. Alors $V(\overline{f}_n B_n)$ n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles. (Appliquer le résultat de l’exerc. 15 en utilisant aussi l’exerc. 11, a).) c) Pour tout $n \in \mathbf{N}$, $F_n$ n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles. d) Si $A_n$ est l’anneau réduit quotient de A tel que $\operatorname{Spec}(A_n) = \overline{G}_n$, alors les idéaux premiers minimaux de $A_n$ appartiennent à $G_n$. e) Soient $n \in \mathbf{N}$ et x un tel idéal premier minimal de $A_n$. Alors il existe un entier $n' > n$ tel que $F_{n'}$ ne contienne aucun point de Y au-dessus de x, et x n’appartient pas à $\overline{G}_{n'}$. (Utiliser l’exerc. 11, a).) f) Pour n assez grand, $F_n$ est vide.