Bài tập 17, § 4

Cho A là một miền nguyên Noether và $a \neq 0$ là một phần tử của căn của A. Giả sử các điều sau: (i) $\operatorname{Ass}_A(A/aA)$ chứa một phần tử cực tiểu duy nhất $p$; (ii) $aA_p = pA_p$; (iii) $A/p$ là đóng nguyên; (iv) bao đóng nguyên $\overline{A}$ của A là một đại số hữu hạn trên A; (v) nếu q là một iđêan nguyên tố có chiều cao 1 của $\overline{A}$, thì $q \cap A$ là một iđêan nguyên tố có chiều cao 1 của A. Chứng minh rằng ta có $\overline{A} = A$ (A là đóng nguyên) và $aA = p$ (do đó $A/aA$ là đóng nguyên). Để làm điều này, hãy thiết lập lần lượt các khẳng định sau: a) $A_p$ và $\overline{A}_p$ là đẳng cấu và $\overline{p} = p\overline{A}$ là iđêan nguyên tố duy nhất của $\overline{A}$ nằm trên $p$. b) Hơn nữa, $p$ là phần tử cực tiểu duy nhất của $\operatorname{Ass}_A(\overline{A}/a\overline{A})$.

c) Thực ra $\bar{p}$ là phần tử duy nhất của $\mathrm{Ass}_A(\overline{A}/a\overline{A})$. d) $\overline{A}/a\overline{A}$ là một miền nguyên và $a\overline{A} = \bar{p}$. e) $A/p$ và $\overline{A}/\bar{p}$ là đẳng cấu và đồng cấu chính tắc của $A/aA$ vào $\overline{A}/a\overline{A}$ là toàn ánh.