Exercice 17, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre et $a \neq 0$ un élément du radical de A. On fait les hypothèses suivantes : (i) $\operatorname{Ass}_A(A/aA)$ contient un seul élément minimal $p$; (ii) $aA_p = pA_p$; (iii) $A/p$ est intégralement clos; (iv) la clôture intégrale $\overline{A}$ de A est une A-algèbre finie; (v) si q est un idéal premier de hauteur 1 de $\overline{A}$, alors $q \cap A$ est un idéal premier de hauteur 1 de A. Prouver que l’on a $\overline{A} = A$ (A est intégralement clos) et $aA = p$ (donc $A/aA$ est intégralement clos). Pour cela, établir successivement les assertions suivantes : a) $A_p$ et $\overline{A}_p$ sont isomorphes et $\overline{p} = p\overline{A}$ est l’unique idéal premier de $\overline{A}$ au-dessus de $p$. b) De plus $p$ est l’unique élément minimal de $\operatorname{Ass}_A(\overline{A}/a\overline{A})$.

c) En fait $\bar{p}$ est le seul élément de $\mathrm{Ass}_A(\overline{A}/a\overline{A})$. d) $\overline{A}/a\overline{A}$ est intègre et $a\overline{A} = \bar{p}$. e) $A/p$ et $\overline{A}/\bar{p}$ sont isomorphes et l’homomorphisme canonique de $A/aA$ dans $\overline{A}/a\overline{A}$ est surjectif.