Bài tập 18, § 4

Cho $A$ là một miền nguyên Noether, $x$ là một phần tử khác không của $A$. Giả sử $A$ tách được và đầy đủ đối với tôpô $xA$-adíc và với mọi iđêan nguyên tố $p \in \mathrm{Ass}_A(A/xA)$, vành $A/p$ là Japanese. Chứng minh rằng $A$ là Japanese. (Gọi $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của $A$ trong một mở rộng hữu hạn của trường phân thức của nó. a) Vì vành $\overline{A}$ là Krull (p. 81, bài tập 14), gọi $\mathfrak{P}_1, ..., \mathfrak{P}_n$ là các iđêan nguyên tố chiều cao 1 của $\overline{A}$ chứa $x$. b) Gọi $p_i = \mathfrak{P}_i \cap A$. Khi đó $p_i \in \mathrm{Ass}_A(A/xA)$ và $\kappa(\mathfrak{P}_i)$ là một mở rộng hữu hạn của $\kappa(p_i)$. (Dùng Bài tập 11 và 13, p. 80.) c) $\overline{A}/\mathfrak{P}_i$ là một $A/p_i$-môđun sinh hữu hạn. d) $\overline{A}/xA$ là một $A/xA$-môđun sinh hữu hạn. e) $A$ tách được đối với tôpô $xA$-adíc. Kết luận như trong chứng minh Định lý 1 của § 4, No. 2.)