Exercice 18, § 4

Soient $A$ un anneau noethérien intègre, $x$ un élément non nul de $A$. On suppose que $A$ est séparé et complet pour la topologie $xA$-adique et que pour tout idéal premier $p \in \mathrm{Ass}_A(A/xA)$, l’anneau $A/p$ est japonais. Prouver que $A$ est japonais. (Soit $\overline{A}$ la fermeture intégrale de $A$ dans une extension finie de son corps des fractions. a) L’anneau $\overline{A}$ étant de Krull (p. 81, exerc. 14), soient $\mathfrak{P}_1, ..., \mathfrak{P}_n$ les idéaux premiers de hauteur 1 de $\overline{A}$ contenant $x$. b) Soit $p_i = \mathfrak{P}_i \cap A$. Alors on a $p_i \in \mathrm{Ass}_A(A/xA)$ et $\kappa(\mathfrak{P}_i)$ est une extension finie de $\kappa(p_i)$. (Utiliser les exerc. 11 et 13, p. 80.) c) $\overline{A}/\mathfrak{P}_i$ est un $A/p_i$-module de type fini. d) $\overline{A}/xA$ est un $A/xA$-module de type fini. e) $A$ est séparé pour la topologie $xA$-adique. Conclure comme dans la démonstration du th. 1 du § 4, no 2.)