Bài tập 25, § 4

Cho A là một miền nguyên Noether, $X$ là không gian tôpô $\operatorname{Spec}(A)$, $\operatorname{Nor}(X)$ là tập hợp các điểm $p$ của A sao cho vành địa phương $A_p$ là nguyên đóng. (Nếu bao đóng nguyên của A là một A-đại số hữu hạn, thì $\operatorname{Nor}(X)$ là mở trong $X$, xem V, § 1, No. 5, Hệ quả 5.) Cho $f$ là một phần tử khác không của A sao cho vành $A[f^{-1}]$ là nguyên đóng. a) Nếu một iđêan nguyên tố $p$ của A không chứa $f$, thì $p$ thuộc $\operatorname{Nor}(X)$. b) Cho $E$ là tập hợp các iđêan nguyên tố $p$ của A, liên kết với $A/f A$, có chiều cao $> 1$ hoặc có chiều cao $1$ và sao cho $A_p$ không chính quy. Khi đó ta có

(Sử dụng các Bài tập 4 và 5, p. 79.) c) $\operatorname{Nor}(X)$ là mở trong $X$.