Exercice 25, § 4

Soient A un anneau noethérien intègre, X l’espace topologique Spec(A), Nor(X) l’ensemble des points p de A tels que l’anneau local A_p soit intégralement clos. (Si la clôture intégrale de A est une A-algèbre finie, alors Nor(X) est ouvert dans X, cf. V, § 1, n° 5, cor. 5.) Soit f un élément non nul de A tel que l’anneau A[f^{-1}] soit intégralement clos. a) Si un idéal premier p de A ne contient pas f, alors p appartient à Nor(X). b) Soit E l’ensemble des idéaux premiers p de A, associés à A/f A, de hauteur > 1 ou bien de hauteur 1 et tels que A_p ne soit pas régulier. Alors on a

(Utiliser les exerc. 4 et 5, p. 79.) c) Nor(X) est ouvert dans X.