Bài tập 27, § 4

Cho A là một vành địa phương Noether đóng nguyên. Hơn nữa, giả sử A là một vành Nagata. Cho x là một phần tử của trường phân thức K của A, không thuộc A. Cho B là vành A[x] và p là một iđêan cực đại của B chứa x. Đặt I = xA \cap A. a) Cho X là một bất định và Q là hạt nhân của đồng cấu từ A[X] vào B biến X thành x. Khi đó Q được sinh bởi các đa thức có dạng aX − b, trong đó a và b là các phần tử của A sao cho ax = b, và I = xA \cap A được sinh bởi các hệ số hằng b của các đa thức này. Hơn nữa, phép nhúng A vào B cảm sinh một đẳng cấu từ A/I lên B/xB. b) Iđêan I của A là chia được. c) \operatorname{Ass}_B(B/xB) không chứa iđêan nguyên tố nào bị nhúng. d) Cho q là một iđêan nguyên tố của B_p liên kết với B_p/xB_p. Khi đó q \cap A liên kết với A/I và các vành A_{q \cap A} và (B_p)_q là các vành định giá rời rạc. e) B_p/q là một vành Nagata. (Nhận xét rằng B/(q \cap B) đẳng cấu với A/(q \cap A).) f) Hoàn thành của B_p/q là thu gọn. g) Hoàn thành của B_p là thu gọn và bao đóng nguyên của B_p là hữu hạn trên B_p. (Dùng Bài tập 24.)