Exercice 27, § 4

Soit A un anneau local noethérien intégralement clos. On suppose en outre que A est un anneau de Nagata. Soit x un élément du corps des fractions K de A, n’appartenant pas à A. Soient B l’anneau A[x] et p un idéal maximal de B contenant x. Posons I = xA \cap A. a) Soient X une indéterminée et Q le noyau de l’homomorphisme de A[X] dans B qui applique X sur x. Alors Q est engendré par les polynômes de la forme aX − b, où a et b sont des éléments de A tels que ax = b, et I = xA \cap A est engendré par les termes constants b de ces polynômes. De plus l’inclusion de A dans B induit un isomorphisme de A/I sur B/xB. b) L’idéal I de A est divisoriel. c) \operatorname{Ass}_B(B/xB) ne contient aucun idéal premier immergé. d) Soit q un idéal premier de B_p associé à B_p/xB_p. Alors q \cap A est associé à A/I et les anneaux A_{q \cap A} et (B_p)_q sont des anneaux de valuation discrète. e) B_p/q est un anneau de Nagata. (Remarquer que B/(q \cap B) est isomorphe à A/(q \cap A).) f) Le complété de B_p/q est réduit. g) Le complété de B_p est réduit et la clôture intégrale de B_p est finie sur B_p. (Utiliser l’exerc. 24.)