Bài tập 28, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương Noether đóng nguyên, $K$ là trường các phân thức của nó, $x$ là một phần tử của $K - A$, $B$ là vành $A[x]$ và $p$ là một iđêan cực đại của $B$. Cho $a$, $b$ là các phần tử khác không của $A$ sao cho $bx = a$. a) Vành $B\left[\frac{1}{b}\right]$ là đóng nguyên. b) Chứng minh tồn tại một đa thức đơn khởi $f$ với các hệ số trong $A$ sao cho $f(x) \in p$. c) Cho $E$ là trường thu được bằng cách ghép thêm các nghiệm của $f(X)$ vào $K$, $A’$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $E$, $B’$ là vành $A’[x]$. Cho $p’$ là một iđêan cực đại của $B’$ nằm trên $p$. Khi đó bao đóng nguyên của $B’_{p’}$ là hữu hạn trên $B’_{p’}$. (Sử dụng bài tập trước.) d) Chứng minh bao đóng nguyên của $B’_p$ là hữu hạn trên $B’_p$. (Sử dụng Bài tập 26.) e) Bao đóng nguyên của $B_p$ là hữu hạn trên $B_p$.