Exercice 28, § 4

Soient A un anneau local noethérien intégralement clos, K son corps des fractions, x un élément de K − A, B l’anneau A[x] et p un idéal maximal de B. Soient a, b des éléments non nuls de A tels que bx = a. a) L’anneau $B\left[\frac{1}{b}\right]$ est intégralement clos. b) Il existe un polynôme unitaire f à coefficients dans A tel que f(x) \in p. c) Soient E le corps obtenu en adjoignant les racines de f(X) à K, A’ la fermeture intégrale de A dans E, B’ l’anneau A’[x]. Soit p’ un idéal maximal de B’ au-dessus de p. Alors la clôture intégrale de B’_{p’} est finie sur B’_{p’}. (Utiliser l’exercice précédent.) d) La clôture intégrale de B’_p est finie sur B’_p. (Utiliser l’exerc. 26.) e) La clôture intégrale de B_p est finie sur B_p.