Bài tập 32, § 4

Cho $A$ là một vành nguyên Noether địa phương và $K$ là trường các phân thức của nó. Giả sử rằng $K$ có đặc số khác không $p$. Giả sử rằng $A$ là một vành Nagata, và ký hiệu $\hat{A}$ là phần bù đầy đủ của $A$. Cho $p$ là một iđêan nguyên tố cực tiểu của $\hat{A}$, và $L$ là trường các phân thức của $\hat{A}/p$. Cho $k$ là một trường yếu các đại diện của $A$, $k'$ là trường các đại diện của $\hat{A}$ chứa ảnh của $k$ trong $\hat{A}$ (p. 78, Bài tập 9, (a)). Khi đó $K$ tách được trên $k$ khi và chỉ khi $L$ tách được trên $k'$. (Nhận xét rằng $L$ tách được trên $K$ vì $A$ là một vành Nagata. Nếu $K$ tách được trên $k$, hãy chứng minh rằng mọi đạo hàm của $k'$ vào $L$ mở rộng được thành một đạo hàm của $L$ vào $L$.)