Exercice 32, § 4

Soient $A$ un anneau local noethérien intègre et $K$ son corps des fractions. On suppose $K$ de caractéristique $p$ non nulle. On suppose que $A$ est un anneau de Nagata et on note $\hat{A}$ le complété de $A$. Soient $p$ un idéal premier minimal de $\hat{A}$ et $L$ le corps des fractions de $\hat{A}/p$. Soient $k$ un corps de représentants faible de $A$, $k'$ le corps de représentants de $\hat{A}$ contenant l’image de $k$ dans $\hat{A}$ (p. 78, exerc. 9, a)). Alors $K$ est séparable sur $k$ si et seulement si $L$ est séparable sur $k'$. (Remarquer que $L$ est séparable sur $K$ puisque $A$ est un anneau de Nagata. Si $K$ est séparable sur $k$, prouver que toute dérivation de $k'$ dans $L$ s’étend en une dérivation de $L$ dans $L$.)