Bài tập 5, § 4

Cho A là một vành Noether thỏa mãn các điều kiện (R1) và (S2). a) Chứng minh rằng A là giảm. b) Cho $a$ là một phần tử giản ước được của A. Nếu một phần tử $x$ của A có tính chất là ảnh của nó trong $A_p$ thuộc về $aA_p$ với mọi $p \in \mathrm{Ass}_A(A/aA)$, thì $x$ thuộc về $aA$. (Dùng IV, § 2, No. 3, Mệnh đề 5.) c) Chứng minh rằng A là nguyên đóng trong vành phân thức toàn phần R của nó. (Nếu $a, b, c_1, ..., c_n$ là các phần tử của A thỏa mãn (i) $b$ là giản ước được trong A, (ii) $(b^{-1}a)^n + c_1(b^{-1}a)^{n-1} + \cdots + c_n = 0$ trong R, thì lần lượt chứng minh rằng có $a \in bA_p$ với mọi iđêan nguyên tố $p$ có chiều cao 1 của A, và sau đó có $a \in bA$.) d) Chứng minh rằng A là chuẩn. (Nhận xét rằng một phần tử lũy đẳng của R là nguyên trên A.)