Exercice 5, § 4

Soit A un anneau noethérien vérifiant les conditions (R1) et (S2). a) Montrer que A est réduit. b) Soit $a$ un élément simplifiable de A. Si un élément $x$ de A est tel que son image dans $A_p$ appartienne à $aA_p$ pour tout $p \in \mathrm{Ass}_A(A/aA)$, alors $x$ appartient à $aA$. (Utiliser IV, § 2, n° 3, prop. 5.) c) Prouver que A est intégralement fermé dans son anneau total des fractions R. (Si $a, b, c_1, ..., c_n$ sont des éléments de A vérifiant (i) $b$ est simplifiable dans A, (ii) $(b^{-1}a)^n + c_1(b^{-1}a)^{n-1} + \cdots + c_n = 0$ dans R, alors prouver successivement qu’on a $a \in bA_p$ pour tout idéal premier $p$ de hauteur 1 de A, puis qu’on a $a \in bA$.) d) Prouver que A est normal. (Remarquer qu’un idempotent de R est entier sur A.)