Bài tập 6, § 4

(a) Cho A là một vành, M là một A-môđun Noether trung thành. Hãy chứng minh rằng A là một vành Noether.

(b) Cho A là một vành và M là một A-môđun trung thành kiểu hữu hạn. Giả sử rằng với mọi dãy tăng các iđêan $(\alpha_i)_{i \in \mathbf{N}}$ của A, dãy các môđun con $(\alpha_iM)_{i \in \mathbf{N}}$ của M là dừng. Khi đó A là một vành Noether. (Theo (a), chỉ cần chứng minh rằng M là một A-môđun Noether. Rút gọn về trường hợp với mọi iđêan khác không $\alpha$ của A, A-môđun $M/\alpha M$ là Noether và với mọi môđun con khác không N của M, A-môđun $M/N$ không trung thành.)

(c) Cho B là một vành Noether và A là một vành con của B sao cho B là một đại số trên A hữu hạn. Khi đó A là một vành Noether. (Điều này cho phép bỏ giả thiết A là Noether trong Mệnh đề 2 của § 4, No. 1.)