Exercice 6, § 4

a) Soient A un anneau, M un A-module fidèle et noethérien. Montrer que A est un anneau noethérien. b) Soient A un anneau et M un A-module fidèle de type fini. On suppose que pour toute suite croissante d’idéaux $(\alpha_i)_{i \in \mathbf{N}}$ de A, la suite des sous-modules $(\alpha_iM)_{i \in \mathbf{N}}$ de M est stationnaire. Alors A est un anneau noethérien. (Par a), il suffit de prouver que M est un A-module noethérien. Se ramener au cas où pour tout idéal non nul $a$ de A, le A-module $M/\alpha M$ est noethérien et où, pour tout sous-module non nul N de M, le A-module $M/N$ n’est pas fidèle.) c) Soient B un anneau noethérien et A un sous-anneau de B tel que B soit une A-algèbre finie. Alors A est un anneau noethérien. (Ceci permet de supprimer l’hypothèse que A soit noethérien dans la prop. 2 du § 4, n° 1.)