Bài tập 7, § 4

Cho A là một vành Krull và P là tập hợp các iđêan nguyên tố của A có chiều cao 1. Giả sử rằng với mọi iđêan nguyên tố $p \in P$, vành $A/p$ là Noether, và ký hiệu K là trường phân thức của A. Chứng minh rằng A là Noether. (Cho $p \in P$ và $x \in K$ sao cho $v_p(x) = 1$ và $v_q(x) \leq 0$ với $q \in P - \{p\}$. Đặt $B = A[x]$. Khi đó ta có các tính chất sau: (i) $p = xB \cap A$; (ii) phép nhúng A vào B cảm sinh, bằng cách chuyển qua các thương, một đẳng cấu từ $A/p$ lên $B/xB$; (iii) với mọi số nguyên $n \geq 0$, vành $B/x^nB$ là Noether ; (iv) với mọi số nguyên $n \geq 0$, vành $A/(x^nB \cap A)$ là Noether (sử dụng Bài tập 6); (v) với mọi số nguyên $n \geq 0$, A-môđun $A/p^{(n)}$ là Noether. Nhắc lại rằng ta đặt $p^{(n)} = A \cap p^nA_p$, cf. IV, § 2, Bài tập 18.)