Exercice 7, § 4

Soient A un anneau de Krull et P l’ensemble de ses idéaux premiers de hauteur 1. On suppose que pour tout idéal premier $p \in P$, l’anneau $A/p$ est noethérien, et on note K le corps des fractions de A. Prouver que A est noethérien. (Soient $p \in P$ et $x \in K$ tels que $v_p(x) = 1$ et $v_q(x) \leq 0$ pour $q \in P - \{p\}$. Posons $B = A[x]$. Alors on a les propriétés suivantes : (i) $p = xB \cap A$; (ii) l’inclusion de A dans B induit, par passage aux quotients, un isomorphisme de $A/p$ sur $B/xB$; (iii) pour tout entier $n \geq 0$, l’anneau $B/x^nB$ est noethérien ; (iv) pour tout entier $n \geq 0$, l’anneau $A/(x^nB \cap A)$ est noethérien (utiliser l’exerc. 6); (v) pour tout entier $n \geq 0$, le A-module $A/p^{(n)}$ est noethérien. On rappelle qu’on pose $p^{(n)} = A \cap p^nA_p$, cf. IV, § 2, exerc. 18.)