Bài tập 8, § 4

Cho A là một miền nguyên, K là trường phân thức của nó. Cho B là một vành và $\varphi : A \to B$ là một đồng cấu vành làm cho B thành một A-môđun phẳng trung thành. Giả sử rằng B chỉ có một số hữu hạn các iđêan nguyên tố cực tiểu $p_1, ..., p_n$. Với $1 \leq i \leq n$, đặt $\overline{B}_i = B/p_i$, gọi $L_i$ là trường phân thức của $B_i$ và L là vành tích của các $L_i$. Cuối cùng, gọi $\overline{A}$ là bao đóng nguyên của A, $\overline{B}_i$ là bao đóng nguyên của $B_i$. a) Đồng cấu từ A vào L cảm sinh bởi $\varphi$ là đơn ánh, và mở rộng thành một đồng cấu đơn ánh $\psi$ từ K vào L. b) Ta có $\overline{A} = \psi^{-1}(\prod_{i=1}^n \overline{B}_i)$. (Người ta có thể chứng minh rằng nếu $x \in \psi^{-1}(\prod_{i=1}^n \overline{B}_i)$ và nếu $x'$ là ảnh của nó trong $K \otimes_A B$, thì tồn tại một đa thức đơn khởi P với các hệ số trong B sao cho $P(x')$ là lũy linh trong $K \otimes_A B$.)