Exercice 8, § 4

Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions. Soient B un anneau et $\varphi : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux qui fasse de B un A-module fidèlement plat. On suppose que B n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers minimaux $p_1, ..., p_n$. Pour $1 \leq i \leq n$, on pose $\overline{B}_i = B/p_i$, on note $L_i$ le corps des fractions de $B_i$ et L l’anneau produit des $L_i$. Enfin, on note $\overline{A}$ la clôture intégrale de A, $\overline{B}_i$ celle de $B_i$. a) L’homomorphisme de A dans L déduit de $\varphi$ est injectif, et se prolonge en un homomorphisme injectif $\psi$ de K dans L. b) On a $\overline{A} = \psi^{-1}(\prod_{i=1}^n \overline{B}_i)$. (On pourra prouver que si $x \in \psi^{-1}(\prod_{i=1}^n \overline{B}_i)$ et si $x'$ est son image dans $K \otimes_A B$, il existe un polynôme unitaire P à coefficients dans B tel que $P(x')$ soit nilpotent dans $K \otimes_A B$.)