Bài tập 1, § 1

Cho $d$ là một số nguyên hữu tỉ không chia được cho một bình phương trong $\mathbf{Z}$. Chứng minh rằng các phần tử của trường $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ nguyên trên $\mathbf{Z}$ có dạng $a + b\sqrt{d}$ trong đó $a \in \mathbf{Z},\ b \in \mathbf{Z}$ nếu $d - 1 \not\equiv 0 \pmod{4}$ và các phần tử $(a + b\sqrt{d})/2$ trong đó $a \in \mathbf{Z},\ b \in \mathbf{Z}$, $a$ và $b$ đều chẵn hoặc $a$ và $b$ đều lẻ, nếu $d - 1 \equiv 0 \pmod{4}$ (xem Đại số, Chương VII, § 1, Bài tập 8). Suy ra rằng $A = \mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ không đóng nguyên và cho một ví dụ về một phần tử của $\mathbf{Q}[\sqrt{5}]$ nguyên trên $A$ nhưng đa thức tối tiểu của nó trên trường các phân thức của $A$ không có các hệ số trong $A$.