Exercice 1, § 1

Soit $d$ un entier rationnel non divisible par un carré dans $\mathbf{Z}$. Montrer que les éléments du corps $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ qui sont entiers sur $\mathbf{Z}$ sont les éléments de la forme $a + b\sqrt{d}$ avec $a \in \mathbf{Z},\ b \in \mathbf{Z}$ si $d - 1 \not\equiv 0 \pmod{4}$ et les éléments de la forme $(a + b\sqrt{d})/2$ avec $a \in \mathbf{Z},\ b \in \mathbf{Z}$, $a$ et $b$ tous deux pairs ou tous deux impairs, si $d - 1 \equiv 0 \pmod{4}$ (cf. Alg., chap. VII, § 1, exerc. 8). En déduire que l’anneau $A = \mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ n’est pas intégralement clos, et donner un exemple d’un élément de $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ entier sur $A$ mais dont le polynôme minimal sur le corps des fractions de $A$ n’ait pas ses coefficients dans $A$.