Bài tập 11, § 1

(a) Cho R là một miền nguyên, $(A_\alpha)$ là một họ có hướng phải của các vành con của R và A là hợp của $\&$. Chứng minh rằng, nếu mỗi $A_\alpha$ là đóng nguyên, thì A cũng vậy.

(b) Cho K là một trường giao hoán và $R = K(X, Y)$ là trường các hàm hữu tỉ theo hai bất định trên K. Với mỗi số nguyên $n > 0$ hãy ký hiệu $A_n$ là vành con $K[X, Y, YX^{-n}]$ của R. Chứng minh rằng các $A_n$ là hoàn toàn đóng nguyên nhưng hợp của chúng A thì không. (Đối với một phần tử có dạng $P(X, Y) . X^{-ns}$, trong đó $P \in K[X, Y]$, để thuộc A, hãy chứng minh rằng điều kiện cần và đủ là P thuộc $\mathfrak{g}^s$, trong đó 3 là iđêan của $K[X, Y]$ sinh bởi $X^n$ và $Y$.)