Exercice 11, § 1

a) Soient R un anneau intègre, $(A_\alpha)$ une famille filtrante croissante de sous-anneaux de R, A la réunion des $A_\alpha$. Montrer que si chacun des $A_\alpha$ est intégralement clos, il en est de même de A.

b) Soient K un corps commutatif, $R = K(X, Y)$ le corps des fractions rationnelles à deux indéterminées sur K. Pour tout entier $n > 0$, on désigne par $A_n$ le sous-anneau $K[X, Y, YX^{-n}]$ de R. Montrer que les $A_n$ sont complètement intégralement clos mais qu’il n’en est pas de même de leur réunion A. (Pour qu’un élément de la forme $P(X, Y).X^{-ns}$, où $P \in K[X, Y]$, appartienne à $A_n$, montrer qu’il faut et il suffit que P appartienne à $\mathfrak{J}^s$, en désignant par $\mathfrak{J}$ l’idéal de $K[X, Y]$ engendré par $X^n$ et Y.)