Bài tập 13, § 1

Cho A là một miền nguyên địa phương và K là trường phân thức của nó. Xét hai tính chất sau: (i) A là Hensel (Chương 111, § 4, Bài tập 3). (ii) Với mọi mở rộng hữu hạn L của K, bao đóng nguyên A' của A trong L là một vành địa phương. Chứng minh rằng (i) kéo theo (ii) và đảo lại đúng nếu A là đóng nguyên. (Để thấy rằng (i) kéo theo (ii), chú ý rằng A' là hợp của một họ có hướng phải của các đại số hữu hạn trên A và sử dụng định nghĩa của một vành Hensel. Để thấy rằng (ii) kéo theo (i) nếu A là đóng nguyên, chứng minh rằng, nếu $P \in A[X]$ là một đa thức đơn khởi bất khả quy và $f : A \to k$ là đồng cấu chính tắc của A lên trường thặng dư k của nó, $f(P)$ là bất khả quy trong $K[X]$ và xét trường $L = K[X]/(f)$.) Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, bao đóng nguyên A của A trong mọi mở rộng của K là một vành địa phương. Xét trường hợp các vành địa phương Hausdorff đầy đủ; nếu A là một vành địa phương Noether Hausdorff đầy đủ, mọi đại số trên A được chứa trong A' và là một A-môđun hữu hạn sinh là một vành địa phương Hausdorff đầy đủ.