Exercice 13, § 1

Soient $A$ un anneau local intègre, $K$ son corps des fractions. On considère les deux propriétés suivantes : (i) $A$ est hensélien (chap. III, § 4, exerc. 3). (ii) Pour toute extension $L$ de $K$, de degré fini sur $K$, la fermeture intégrale $A'$ de $A$ dans $L$ est un anneau local.

Montrer que (i) entraîne (ii), et que la réciproque est vraie lorsque $A$ est intégralement clos. (Pour voir que (i) entraîne (ii), remarquer que $A'$ est réunion d’une famille filtrante croissante de $A$-algèbres finies et utiliser la définition d’un anneau hensélien. Pour voir que (ii) entraîne (i) lorsque $A$ est intégralement clos, montrer que si $P \in A[X]$ est un polynôme unitaire irréductible, et si $f : A \to k$ est l’homomorphisme canonique de $A$ sur son corps résiduel $k, \bar{f}(P)$ est irréductible dans $k[X]$. On notera pour cela que $P$ est irréductible dans $K[X]$ et on considérera le corps $L = K[X]/(f)$.

Lorsque la condition (ii) est remplie, la fermeture intégrale $A'$ de $A$ dans toute extension de $K$ est un anneau local. Cas des anneaux locaux séparés et complets; si $A$ est un anneau local noethérien séparé et complet, toute $A$-algèbre contenue dans $A'$ et qui est un $A$-module de type fini est un anneau local séparé et complet.