Bài tập 19, § 1

(a) Cho A là một miền nguyên đóng, K là trường phân thức của nó, L là một mở rộng đại số tách được của K, x là một phần tử của L nguyên trên A, K' là trường K(x) ⊂ L và F là đa thức tối tiểu của x trên K. Nếu x có bậc n trên K, hãy chứng minh rằng bao đóng nguyên của A trong K' được chứa trong môđun A sinh bởi các phần tử 1/F'(x), x/F'(x), ..., x^{n-1}/F'(x) của K'. (Nếu z ∈ K' là nguyên trên A, viết

zF'(x) = g(x), trong đó g(X) = b_0 + b_1X + ... + b_{n-1}X^{n-1} ∈ K[X].

Hãy chứng minh, nhờ công thức nội suy Lagrange, rằng

(b) Cho $A$ là một miền nguyên đóng, $K$ là trường phân thức của nó và $p$ là số mũ đặc số của $K$. Giả sử rằng vành con $A^{1/p}$ của $K^{1/p}$ gồm các căn bậc $p$ của các phần tử của $A$ là một môđun $A$ sinh hữu hạn. Hãy chứng minh rằng với mọi mở rộng hữu hạn $E$ của $K$, bao đóng nguyên của $A$ trong $E$ là một môđun $A$ sinh hữu hạn (quy về trường hợp $E$ là một mở rộng quasi-Galois).