Exercice 19, § 1

Algèbre commutative, V

a) Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, L une extension algébrique séparable de K, x un élément de L entier sur A, K' le corps $K(x) \subset L$ , F le polynôme minimal de x sur K. Si x est de degré n sur K, montrer que la fermeture intégrale de A dans K' est contenue dans le A-module engendré par les éléments $1/F'(x), x/F'(x), \ldots, x^{n-1}/F'(x)$ de K'. (Si $z \in K'$ est entier sur A, écrire

zF'(x) = g(x), \quad \text{où} \quad g(X) = b_0 + b_1 X + \cdots + b_{n-1} X^{n-1} \in K[X].

Montrer à l’aide de la formule d’interpolation de Lagrange que l’on a

g(X) = \operatorname{Tr}_{K'[X]/K[X]} \left( z \cdot \frac{F(X)}{X-x} \right).

b) Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, p l’exposant caractéristique de K. On suppose que le sous-anneau $A^{1/p}$ de $K^{1/p}$ , formé des racines p-èmes des éléments de A, soit un A-module de type fini. Montrer que pour toute extension E de K, de degré fini, la fermeture intégrale de A dans E est un A-module de type fini (se ramener au cas où E est une extension quasi-galoisienne).

Solution

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