Bài tập 20, § 1

Cho $K_0$ là một trường hoàn hảo có đặc số $p > 0$, $K$ là trường các hàm hữu tỉ $K_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ và $B$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức $K[[Z]]$, trong đó $Z$ là một bất định; nếu $m$ là iđêan cực đại của $B$, thì $B$ là Hausdorff và đầy đủ với tôpô $m$-adic và là một vành định giá rời rạc. Cho $L = K((Z))$ là trường các phân thức của $B$ và $E$, trường con của $L$ sinh bởi $L^p$ và các phần tử $Z$ và $X_n$ (với $n \in \mathbf{N}$).

(a) Chứng minh rằng phần tử $c = \sum_{n=0}^\infty X_n Z^n$ của $L$ không thuộc $E$.

(b) Cho $E$ là một phần tử cực đại của tập hợp các trường con của $L$ chứa $E$ và không chứa $c$; ta viết $A = B \cap E$. Chứng minh rằng $A$ là một vành định giá rời rạc (và do đó là Noether) có trường các phân thức là $E$; nếu $m'$ là iđêan cực đại của $A$, thì ${m'}^k = m^k \cap A$ và $A$ trù mật trong $B$ với tôpô $m$-adic; $L = K(c)$ là một mở rộng của $K$ có bậc $p$ và $B$ là bao đóng nguyên của $A$ trong $L$ nhưng $B$ không phải là một A-môđun sinh hữu hạn (dùng Chương 111, § 3, Bài tập 9 (b)). \*