Exercice 20, § 1

Soient $K_0$ un corps parfait de caractéristique $p > 0$, $K$ le corps de fractions rationnelles $K_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$, $B$ l’anneau de séries formelles $K[[Z]]$, où $Z$ est une indéterminée; si $m$ est l’idéal maximal de $B$, $B$ est séparé et complet pour la topologie $m$-adique et est un anneau de valuation discrète. Soient $L = K((Z))$ le corps des fractions de $B$, $E_0$ le sous-corps de $L$ engendré par $L^p$ et les éléments $Z$ et $X_n$ (pour $n \in \mathbf{N}$)

a) Montrer que l’élément $c = \sum_{n=0}^{\infty} X_n Z^n$ de $L$ n’appartient pas à $E_0$.

b) Soit $E$ un élément maximal de l’ensemble des sous-corps de $L$ contenant $E_0$ et ne contenant pas $c$; on pose $A = B \cap E$. Montrer que $A$ est un anneau de valuation discrète (donc noethérien) dont $E$ est le corps des fractions; si $m'$ est l’idéal maximal de $A$, on a ${m'}^k = m^k \cap A$ et $A$ est dense dans $B$ pour la topologie $m$-adique; $L = K(c)$ est une extension de $K$ de degré $p$, et $B$ est la fermeture intégrale de $A$ dans $L$, mais $B$ n’est pas un $A$-module de type fini (utiliser le chap. III, § 3, exerc. 9 b).*