Bài tập 23, § 1

(a) Cho K là một trường giao hoán, n là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với đặc số của K và P là một đa thức trong $K[X]$ chỉ có các nghiệm đơn (trong một bao đóng đại số của K). Nếu ta viết $f(X, Y) = Y^n - P(X)$, hãy chỉ ra rằng, nếu K chứa các nghiệm đơn vị bậc n, miền nguyên $A = K[X, Y]/(f)$ là đóng nguyên và có trong trường phân thức của nó mở rộng tách được L của $K(X)$ sinh bởi một nghiệm y của $f$ (được xem như một đa thức trong $K(X)[Y]$). (Hãy chỉ ra rằng, nếu một phần tử z của L là nguyên trên $K[X]$, thì nó thuộc A; vì mục đích này, hãy viết $z$ dưới dạng

trong đó $a_i(X) \in K(X)$. Hãy chỉ ra rằng các phần tử $a_i(X) y^i$ ($0 \leq i \leq n-1$) là nguyên trên $K[X]$ và suy ra rằng các $(a_i(X))^n (P(X))^i$ là các phần tử của $K[X]$; kết luận rằng các $a_i(X)$ cũng vậy.) (b) Giả sử rằng K là một trường không hoàn hảo có đặc số $p \neq 2$; cho $a \in K$ là một phần tử không thuộc $K^p$, cho E là trường $K(a^{1/p})$ và ta viết $P(X) = X^p - a, f(X, Y) = Y^2 - P(X)$. Nếu A là miền nguyên đóng nguyên $K[X, Y]/(f)$, hãy chỉ ra rằng $B = E \otimes_K A$ là một miền nguyên nhưng không đóng nguyên (xét phần tử $y/(X - a^{1/p})$ của trường phân thức của B).