Exercice 23, § 1

a) Soient $K$ un corps commutatif, $n$ un entier étranger à la caractéristique de $K$, $P$ un polynôme de $K[X]$ n’ayant que des racines simples (dans une clôture algébrique de $K$). Si on pose $f(X, Y) = Y^n - P(X)$, montrer que si $K$ contient les racines $n$-èmes de l’unité, l’anneau $A = K[X, Y]/(f)$ est intégralement clos et a pour corps des fractions l’extension séparable $L$ de $K(X)$ engendrée par une racine $y$ de $f$ (considéré comme un polynôme de $K(X)[Y]$). (Montrer que si un élément $z$ de $L$ est entier sur $K[X]$, il appartient à $A$; pour cela, écrire $z$ sous la forme $z = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(X)y^i$, où $a_i(X) \in K(X)$. Montrer que les éléments $a_i(X)y^i$ ($0 \leq i \leq n-1$) sont entiers sur $K[X]$ et en déduire que les $(a_i(X))^n(P(X))^i$ sont des éléments de $K[X]$; conclure qu’il en est de même des $a_i(X)$).

b) On suppose que $K$ est un corps non parfait de caractéristique $p \neq 2$; soit $a \in K$ un élément n’appartenant pas à $K^p$, soit $E$ le corps $K(a^{1/p})$, et posons $P(X) = X^p - a,\ f(X, Y) = Y^2 - P(X)$. Si $A$ est l’anneau intégralement clos $K[X, Y]/(f)$, montrer que $B = E \otimes_K A$ est intègre mais non intégralement clos (considérer l’élément $y/(X - a^{1/p})$ du corps des fractions de $B$).