Bài tập 24, § 1

Cho A là một nhóm giao hoán không xoắn được viết cộng tính. Cho A là một vành giao hoán, B là một đại số trên A giao hoán và $h : A \to B$ là đồng cấu vành xác định cấu trúc đại số trên B. Khi đó $h^{(\Delta)} : A^{(\Delta)} \to B^{(\Delta)}$ (Đại số,

Chương II, § 11, Bài tập 1) là một đồng cấu (vành) của đại số $A^{(\Delta)}$ của nhóm A đối với A vào đại số $B^{(\Delta)}$ của nhóm A đối với B. Cho $P = \sum_{\alpha \in \Delta} b_\alpha \otimes X^\alpha$ là một phần tử của $B^{(\Delta)}$. Chứng minh rằng để $P$ là nguyên trên $A^{(\Delta)}$, điều kiện cần và đủ là mỗi phần tử $b_\alpha \in B$ là nguyên trên A. (Rút gọn về trường hợp A là sinh hữu hạn rồi về trường hợp $A = \mathbf{Z}$.) Chứng minh rằng nếu A là một miền nguyên và đóng nguyên thì $A^{(\Delta)}$ cũng vậy.