Exercice 24, § 1

Soit $\Delta$ un groupe commutatif sans torsion noté additivement. Soient $A$ un anneau commutatif, $B$ une $A$-algèbre commutative, $h : A \to B$ l’homomorphisme d’anneaux définissant la structure d’algèbre de $B$. Alors $h^{(\Delta)} : A^{(\Delta)} \to B^{(\Delta)}$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 11, exerc. 1) est un homomorphisme (d’anneaux) de l’algèbre $A^{(\Delta)}$ du groupe $\Delta$ par rapport à $A$, dans l’algèbre $B^{(\Delta)}$ du groupe $\Delta$ par rapport à $B$. Soit $P = \sum_{\alpha \in \Delta} b_\alpha \otimes X^\alpha$ un élément de $B^{(\Delta)}$. Montrer que pour que $P$ soit entier sur $A^{(\Delta)}$, il faut et il suffit que chacun des éléments $b_\alpha \in B$ soit entier sur $A$. (Se ramener au cas où $\Delta$ est de type fini, puis au cas où $\Delta = \mathbf{Z}$). Montrer que si $A$ est intègre et intégralement clos, il en est de même de $A^{(\Delta)}$.