Bài tập 28, § 1

Cho k là một trường và A, vành đa thức $k[X_n, Y_n]_{n \in \mathbf{Z}}$ theo hai họ vô hạn các bất định. Cho G là một nhóm đơn sinh vô hạn (do đó đẳng cấu với $\mathbf{Z}$) và cho $\mathfrak{s}$ là phần tử sinh của $\mathscr{G}$. G được xác định là tác động trên A, bởi các điều kiện $\sigma(Y_n) = Y_n$, và $\sigma(X_n) = X_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$. Cho 3 là iđêan của A, sinh bởi các phần tử $Y_n(X_n - X_{n+1})$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và cho A là vành thương $A_0/\mathfrak{s}$; vì $\sigma(\mathfrak{s}) \subset 3$, nhóm $\mathscr{G}$ cũng tác động trên A bằng cách chuyển qua thương. Cho S là tập con nhân của A được sinh bởi các ảnh chính tắc của các Y trong A, sao cho S gồm các phần tử bất biến dưới tác động của G. Chứng minh rằng $S^{-1}(A^{\mathscr{G}}) \neq (S^{-1}A)^{\mathscr{G}}$.