Exercice 28, § 1

Soient $k$ un corps, $A_0$ l’anneau de polynômes $k[X_n, Y_n]_{n \in \mathbf{Z}}$ par rapport à deux familles infinies d’indéterminées. Soit $G$ un groupe monogène infini (donc isomorphe à $\mathbf{Z}$), et soit $\sigma$ un générateur de $G$. On définit $G$ comme opérant sur $A_0$ par les conditions $\sigma(Y_n) = Y_n$ et $\sigma(X_n) = X_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$. Soit $\mathfrak{J}$ l’idéal de $A_0$ engendré par les éléments $Y_n(X_n - X_{n+1})$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$, et soit $A$ l’anneau quotient $A_0/\mathfrak{J}$; comme $\sigma(\mathfrak{J}) \subset \mathfrak{J}$, le groupe $G$ opère aussi sur $A$ par passage au quotient. Soit $S$ la partie multiplicative de $A$ engendrée par les images canoniques des $Y_n$ dans $A$, de sorte que $S$ est formée d’éléments invariants par $G$. Montrer que l’on a $S^{-1}(A_0^G) \neq (S^{-1}A)^G$.